简介

快速幂算法是用于快速计算的算法，可以用于快速的处理大整数幂的场景。

最简单的 for 循环求数字的 n 次幂需要 $O(n)$ 的时间复杂度。快速幂方法可以达到 $O(\log N)$ 的时间复杂度。

快速幂的核心思想是将指数拆分，以达到快速计算的目的。

快速幂 - 二进制法

原理

二进制法的核心思想是将指数转换为二进制形式，通过逐位处理并结合平方运算减少乘法次数。

二进制分解指数 将指数 $n$ 表示为二进制形式，例如 $n=13$ 对应二进制为 1101，即 $13=8+4+1=2^3+2^2+2^0$。

幂的拆分 根据二进制分解，$a^n=a^{2^k} \times a^{2^{k-1}} \times \dots \times a^{2^0}$，其中仅当二进制位为 1 时，对应项被保留。

逐位处理与平方加速

• 从最低位到最高位依次处理二进制每一位。
• 若当前位为 1，则将当前的底数累乘到结果中。
• 每一步将底数平方，为处理更高位做准备。

代码示例

def power(base, exp):
    res = 1
    while exp > 0:
        if exp & 1:
            res *= base
        base *= base
        exp >>= 1
    return res

快速幂 - 折半法

原理

折半法的核心公式如下：

我们要快速计算 $a$ 的 $n$ 次方：

• 当 $n$ 为奇数的时候：$a^n = a \cdot (a^2)^{(n-1)/2}$
• 当 $n$ 为偶数的时候：$a^n = (a^2)^{n/2}$
• 当 $n$ 为 0 的时候，直接返回 1

通过递归或迭代，将大指数问题分解为小指数问题，最后合并结果。

代码示例

def power(base, exp):
    if exp == 0: return 1
    half = power(base, exp // 2)
    return half * half * (base if exp % 2 else 1)

两种方法对比

特性	二进制法	折半法
实现方式	迭代 + 位运算	递归/迭代 + 分治
时间复杂度	$O(\log N)$	$O(\log N)$
空间复杂度	$O(1)$	$O(\log N)$ （递归）

两者都可以实现在指数时间解决问题，二进制方法比折半法更加的省空间。