替换密码

约 1648 字大约 5 分钟

2025-10-27

我们一起来系统梳理古典加密算法（Classical Ciphers）。这些算法虽然在现代已不再安全，但它们是密码学发展的基石，蕴含了替换、置换、密钥等核心思想，非常适合理解密码学的基本原理。

替换密码的核心思想是“一对一”或“多对一”的字符映射：把明文中的每一个字母（或符号）按照事先约定好的规则，替换成另一个字母（或符号）。

这种映射可以是固定不变的（如凯撒密码的“统一移位”），也可以是依赖密钥动态变化的（如维吉尼亚密码的“周期移位”）。

由于密文保留了原始字母的出现频率，只是“换了一张皮”，所以替换密码在本质上没有改变字母的统计特性，这也为频率分析攻击留下了突破口。

替换操作可以手工完成，也可以通过查表、转盘、甚至机械电路实现，是后续更复杂多表替换与乘积密码的雏形。

一、凯撒密码（Caesar Cipher）

工作原理：凯撒密码是一种循环移位密码，将字母表视为一个环形结构。加密时每个字母向后移动固定位置 $k$ ，解密时向前移动相同位置。

数学表示：设字母 A-Z 对应数字 0-25，则：

加密公式：

E(x) = (x + k) \mod 26

解密公式：

D(x) = (x - k) \mod 26

其中 $x$ 是明文字母编号， $k$ 是密钥（0 ≤ k ≤ 25）。

特点：

工作原理：单表替换密码是凯撒密码的泛化形式，它使用一个随机的字母替换表，而不是固定的移位。每个明文字母都被唯一地映射到一个密文字母，形成一对一的替换关系。

数学表示：设字母表 $\Sigma = \{A,B,C,...,Z\}$ ，替换函数 $f: \Sigma \rightarrow \Sigma$ 是一个双射（一一对应），则：

加密公式：

E(x) = f(x)

解密公式：

D(y) = f^{-1}(y)

其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的逆函数。

密钥空间：单表替换密码的密钥空间是所有可能的字母排列，大小为：

|K| = 26! \approx 4.03 \times 10^{26}

这个巨大的密钥空间使得暴力破解在计算上不可行。

示例：假设替换表为：

A→Q, B→W, C→E, D→R, E→T, F→Y, G→U, H→I, I→O, J→P,
K→A, L→S, M→D, N→F, O→G, P→H, Q→J, R→K, S→L, T→Z,
U→X, V→C, W→V, X→B, Y→N, Z→M

安全性分析：虽然单表替换密码的密钥空间巨大，但它仍然易受频率分析攻击。因为：

攻击方法：

特点：

工作原理：维吉尼亚密码是一种多表替换密码，它使用一个关键词来决定每次替换的凯撒密码移位量。关键词的每个字母对应一个移位量，明文的每个字母根据关键词的循环使用进行替换。

数学表示：设字母 A-Z 对应数字 0-25。明文 $P = p_0 p_1 ... p_{n-1}$ 关键词 $K = k_0 k_1 ... k_{m-1}$ (长度为 $m$ )

加密公式：

E(p_i) = (p_i + k_{i \pmod m}) \mod 26

解密公式：

D(c_i) = (c_i - k_{i \pmod m}) \mod 26

其中 $p_i$ 是明文第 $i$ 个字母的数字表示， $k_{i \pmod m}$ 是关键词循环后对应第 $i$ 个字母的数字表示， $c_i$ 是密文第 $i$ 个字母的数字表示。

示例：明文：ATTACKATDAWN 关键词：LEMON

关键词循环扩展：将关键词 LEMON 循环扩展至与明文等长：LEMONLEMONLE
明文与关键词按位组合（数字表示）：将明文和扩展后的关键词转换为数字 (A=0, B=1, ..., Z=25)。明文数字: 0 19 19 0 2 10 0 19 3 0 22 13 关键词数字: 11 4 12 14 13 11 4 12 14 13 11 4
加密运算：对每对明文数字 $p_i$ 和关键词数字 $k_{i \pmod m}$ 执行 $(p_i + k_{i \pmod m}) \mod 26$ 运算。例如：
- 第一个字母：明文 A (0) + 关键词 L (11) = $(0 + 11) \mod 26 = 11 \rightarrow L$
- 第二个字母：明文 T (19) + 关键词 E (4) = $(19 + 4) \mod 26 = 23 \rightarrow X$
- 第三个字母：明文 T (19) + 关键词 M (12) = $(19 + 12) \mod 26 = 5 \rightarrow F$ ... 最终密文：LXFOPVEFRNHR

安全性分析：维吉尼亚密码比单表替换密码更安全，因为它引入了多表替换，使得密文的字母频率分布趋于平坦，从而抵抗了简单的频率分析攻击。

然而，它并非绝对安全，主要弱点在于关键词的周期性：

特点：